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O mar para atravessar, o Universo para descobrir, as pirâmides para medir. Tudo existia menos a trigonometria. Construíram-se triângulos, mediram-se ângulos, fizeram-se cálculos e quem sonharia que à Lua se iria? Flor, fruto... Sucessão da natureza. Dois, quatro... Sucessão de Matemática. Quem gosta de Matemática tem de gostar da Natureza. Quem gosta da Natureza aprenderá a gostar da Matemática. O chá arrefece com o tempo, as plantas florescem com o tempo, a Matemática aprende-se com o tempo, a vida vive-se com o tempo. O que é que não é função do tempo? Eram formas tão perfeitas, que na Matemática já tinham uma equação. A sua beleza e harmonia levaram-nos do plano para o espaço e também ao nosso dia-a-dia. Quanto tempo gastou Arquimedes para desenhar retângulos cada vez de menor base, até chegar à área de uma curva? Arquimedes, Arquimedes, que paciência a tua. mas mostraste ao mundo que a Matemática ensina não a dizer: não sei mas a dizer: ainda não sei. Trigonometria, Álgebra e Geometria, tudo junto para complicar. Mas as relações são tão interessantes que até dá gosto estudar. Matemática para que serves? Para dar força e auto-confiança.

Pesquisas Educacionais

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segunda-feira, 13 de dezembro de 2010

GRANDEZAS E MEDIDAS

(Cátia Rodrigues)

Os alunos quando chegam ao 1.º Ciclo já possuem muitos conhecimentos informais no âmbito das grandezas e medida. Já utilizaram em muitas situações expressões do tipo "está na hora de ir para a escola", "eu sou mais alto do que tu", "esta bola é maior do que a tua…", "este saco é muito pesado…", ... Cabe ao professor partir desses conhecimentos para aprofundar a compreensão dos conceitos de grandeza e medida e apresentar situações relacionadas com a medida de várias grandezas. Segundo o novo Programa de Matemática do Ensino Básico (2007), os alunos devem "compreender as grandezas dinheiro, comprimento, área, massa, capacidade, volume e tempo; compreender o que é a unidade de medida e o processo de medir; ser capazes de realizar estimativas e medições, e de relacionar diferentes unidades de medida; ser capazes de resolver problemas, raciocinar e comunicar no âmbito deste tema."

A pertinência deste tema nos currículos de Matemática justifica-se pela sua presença no dia-a-dia das pessoas e em muitos domínios profissionais. Por exemplo, um agricultor, ao calcular a quantidade de semente a lançar à terra, tem necessidade de medir e manipular instrumentos de medida. Para além disso, é um tema com enormes potencialidades ao nível das conexões dentro da Matemática, assumindo particular importância no contexto dos números decimais não negativos, ao mostrar a aplicabilidade dos mesmos em situações com significado para os alunos.

Mas o que são grandezas?

As grandezas são atributos dos objectos que são passíveis de serem medidos. Por exemplo, o volume, a massa e o comprimento são grandezas. Já o mesmo não podemos dizer, por exemplo, da cor, da utilidade e da beleza.

E o que é medir?

Medir consiste em comparar duas grandezas da mesma espécie, dois comprimentos, duas áreas, dois volumes, … Por exemplo, para comparar os comprimentos de dois segmentos de recta coloca-se um deles sobre o outro, fazendo coincidir um dos extremos. Contudo, para um problema de medição, sabemos que não basta afirmar que o comprimento de um segmento é maior do que o do outro. Isto porque, geralmente, estamos interessados em saber "quantas vezes cabe um no outro". Assim, é necessário "seleccionar um objecto e um atributo desse objecto que pretendemos medir: um comprimento, uma área, um volume, uma massa ou uma temperatura; escolhemos a unidade apropriada com a qual possamos comparar o atributo seleccionado do objecto; determinamos o número de unidades necessárias para exaurir o atributo" (Palhares, 2004).

Na situação apresentada anteriormente, em que se colocava um segmento de recta sobre o outro, e se verificava qual deles tinha o maior comprimento, dizemos que estamos a fazer uma comparação directa. Nesta fase não precisamos de nos preocupar com unidades. A comparação directa apenas permite ordenar dois ou mais objectos; no entanto, constitui o fundamento de toda a medição.

Imaginemos agora que se pretende comparar o comprimento de duas salas de aula. Neste caso, não se poderá fazer por comparação directa; terá de se fazer a comparação indirecta, isto é, teremos de nos servir de um objecto padrão para poder comparar os dois (por exemplo, o nosso próprio corpo, um fio, o passo, …, devendo aperceber-se, no entanto, das limitações causadas pelo uso das medidas antropométricas.

Medir é, pois, uma síntese das operações de mudar de posição e de subdividir; é comparar uma dada quantidade de comprimento, massa, volume, … com o comprimento, massa ou volume de um dado objecto a que chamamos unidade, permitindo associar um número a uma quantidade de grandeza. (Ponte e Serrazina, 2000).

Mas, para que o aluno esteja em condições de medir, ele terá de primeiramente perceber o princípio da conservação da grandeza, isto é que, por exemplo, o comprimento de um objecto não se altera quando muda de posição. Para a aquisição do conceito de unidade de medida, Ponte e Serrazina, identificam cinco passos:

  • ausência de unidade de medida: medida meramente visual e comparativa, com a qual as crianças podem comparar dois objectos. A introdução de um terceiro objecto dificulta a medição.

  • unidade ligada a um objecto: é uma unidade ligada a um único objecto e claramente relacionada com o que deve medir-se.

  • unidade ligada à situação: a unidade depende fortemente do objecto a medir, podendo mudar de um objecto para outro, desde que se realize as respectivas medições e se conserve uma relação.

  • unidade figural: a unidade a construir e o objecto a medir vai perdendo relação, observando no entanto uma certa tendência em medir objectos grandes/pequenos com unidades grandes/pequenas.

  • unidade propriamente dita: é totalmente livre do objecto considerado, usando-se a mesma unidade para medir todos os objectos.

Exemplos de grandezas

  1. Comprimento

    Inicialmente os alunos devem utilizar adequadamente expressões como "é tão comprido como", "mais curto que". Só mais tarde aprenderão a medir usando o próprio corpo e objectos. Deverá ser pela própria experiência de medir comprimentos que os alunos irão sentir a necessidade do aparecimento de uma unidade padrão, isto é, as unidades estandardizadas de medida de comprimento.

    2. Área

    Para a introdução do conceito de área, os alunos devem realizar experiências que conduzam à cobertura e uma superfície, de forma a que não sobrem espaços nem haja sobreposições. Nesta fase, os materiais Cuisenaire, Tangram e geoplano, entre outros, podem dar um grande contributo, nomeadamente no estudo das figuras equivalentes. Com estas experiências, os alunos poderão ser iniciados no estudo das medidas estandardizadas – metro quadrado, por exemplo, e levados a estabelecer as expressões para o cálculo de áreas de polígonos. Na verdade, uma expressão não é mais que o reflexo de um bom entendimento do conceito em estudo.

    3. Volume e Capacidade

    Intuitivamente, podemos dizer que volume é o espaço ocupado por um corpo sólido. Neste sentido, é fundamental a realização de experiências como as de mergulhar um corpo num líquido e observar a subida resultante, ou encher caixas com cubos. Mais uma vez, o material Cuisenaire pode ser bastante útil, na medida em que permite, também, construir sólidos equivalentes. Para medir o volume de qualquer sólido geométrico tomamos como unidade de volume, usualmente, o cubo cuja aresta mede 1 cm de comprimento.

    Outro aspecto a realçar é o de, muitas vezes, a capacidade ser confundida com o volume. Contudo, se o volume é o espaço que um corpo ocupa, a capacidade é a quantidade de líquido ou de espaço que pode conter. A unidade de medida de capacidade é o litro, que corresponde ao decímetro cúbico.

    Observação: Normalmente, os problemas de optimização, que mediante determinadas condições exigem a maximização ou minimização de determinadas grandezas (área, volume,…), podem ser directamente resolvidos encontrando os valores máximos ou mínimos (respectivamente) de uma função que modele os referidos problemas. Esses valores extremos são os zeros da função derivada (relativamente à função que modela o problema a optimizar) – ver documento Limites e Derivadas.

    4. Massa

    É comum ouvir-se dizer "eu sou mais pesado que tu", "o lápis é mais leve que o caderno", quando deveríamos antes ouvir "a minha massa é superior à tua", "a massa do lápis é superior à massa do caderno". Estas duas grandezas são diferentes. Enquanto a grandeza massa não varia consoante o local da Terra onde o objecto se situa, a grandeza peso depende do lugar onde nos encontramos, porque esta é definida como a força que atrai um corpo para o centro da Terra. A massa diz respeito à quantidade de matéria que um corpo possui.

    1. Tempo

    Quem nunca ouviu as expressões. "Hoje o tempo nunca mais passa.", "Tens 5 minutos para acabar o exercício.". O que nos indicam? A primeira é característica do tempo subjectivo, enquanto que a segunda, por nos ser dada por um instrumento de medida – o relógio, identifica o tempo objectivo.

    O tempo é uma grandeza difícil de ensinar, pois trata-se de algo que não é "palpável". Como medir o tempo?

    A medição desta grandeza foi sofrendo várias alterações ao longo dos tempos. Para medir o tempo já se recorreu ao Sol, à água, à areia, mas nos dias que correm usamos calendários e relógios.

    1. Dinheiro

    Para os alunos, esta grandeza não está ao mesmo nível das outras; não está directamente ligada à medida, uma vez que eles recorrem ao dinheiro para comprar o que querem e não para medir.

    É a partir de situações do quotidiano e dos conhecimentos que os alunos já têm do dinheiro que estes vão compreendê-lo como uma grandeza; vão perceber quantas moedas de um tipo são necessárias para perfazer outra ou atingir um determinado valor que corresponde a um preço.


    Amplitude do ângulo

    A amplitude de ângulos é um atributo que tem a ver com a sua abertura. Das grandezas apresentadas, esta é a última a ser trabalhada pelos alunos, sendo que no 1.º Ciclo se inicia de modo intuitivo (usando-a para a classificação de alguns ângulos), avançando-se no 2.º Ciclo com a sua formalização (introdução de unidades e instrumentos de medida). A actividade de medição de ângulos ganha também no 2.º Ciclo particular importância nas transformações geométricas nomeadamente nas rotações.

    Considerações finais

    As grandezas e medidas devem estar associadas à resolução de problemas do quotidiano dos alunos. Neste processo matemático os professores devem incentivar os alunos a criticar a razoabilidade das suas respostas. Nas situações de medida, os professores devem desenvolver a capacidade de estimação dos alunos, uma vez que nem sempre é necessário saber a medida exacta associada a um objecto, bastando um valor aproximado. Para além das actividades realizadas com este objectivo, o professor pode também ajudar a desenvolver estratégias de estimação, como por exemplo, "visualizar a unidade que se vai usar na estimação e repeti-la mentalmente sobre o objecto a medir; comparar o comprimento a medir com o comprimento de um objecto conhecido, …" (Ponte e Serrazina, 2000).

    Referências

    Ponte, J. & Serrazina, L. (2000). Didáctica da Matemática do 1.º ciclo. Lisboa: Universidade Aberta.

    Ministério da Educação (2007). Programa do Ensino Básico, DGIDC (disponível em www.esev.ipv.pt/mat1ciclo).

    Caraça, B. (2003). Conceitos Fundamentais da Matemática. Lisboa: Gradiva.

    Palhares, P. (2004). Elementos de Matemática para professores do Ensino Básico. Lisboa: Lidel.

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