ESTILOS COGNITIVOS E FORMAS DE REPRESENTAÇÃO NA MATEMÁTICA

Gladys Denise Wielewski^*

RESUMO

Este artigo é resultado de alguns estudos e reflexões sobre tipos de pensamento matemático e formas de representação utilizadas na resolução de problemas matemáticos, assunto que faz parte de uma pesquisa de doutorado em desenvolvimento. Na resolução de problemas é enfatizado o relacionamento entre sujeito e conhecimento, mediado pela representação empregada e não o aspecto psicológico, como é mais comum. Primeiramente é apresentada uma discussão sobre tipos de pensamento matemático identificados na história e, em seguida, a análise de dois exemplos que mostram o vínculo entre tipo de pensamento e meios de representação.

INTRODUÇÃO

Desde o início do século XIX, uma discussão sobre o contraste entre intuição e lógica no pensamento matemático tem sido proposta. Poincaré (1995) destaca que a intuição é indispensável para criar novas generalizações, produzir hipóteses férteis enquanto a lógica e a prova rigorosa servem para justificar e estabelecer fundamentos sólidos do conhecimento matemático.

Até recentemente, na filosofia como na matemática, dominava o interesse no rigor e nos fundamentos lógicos da matemática. Isso trouxe grande desvantagem para a educação matemática e para todas as teorias que centravam a atenção em como o pensamento matemático se desenvolve no ser humano. Ao se difundir uma perspectiva genética sobre a matemática, abriram-se novas possibilidades para pesquisadores nas áreas da educação, da psicologia cognitiva e da história da matemática.

Adotar uma atitude genética verdadeira significa destacar aspectos do conhecimento que são essenciais à generalização e ao desenvolvimento desse conhecimento. Nesse sentido, estilos de pensamento, maneiras de representar e diferenças quanto aos tipos de aplicações da matemática são premissas fundamentais. Destaca-se esta perspectiva genética principalmente pelo interesse nos processos de resolução de problemas. Por meio de um estudo destes processos esperam-se obter novos resultados a respeito da importância dos estilos cognitivos e da influência dos modos de representação.

Por que dar importância aos estilos? Eles importam para cada perspectiva genética, seja ela psicológica e educacional ou seja ela epistemológica. A respeito da segunda veja o exemplo de Darwin e Wallace no item 1deste artigo.

O tema estilos cognitivos não interessa somente aos psicólogos, que normalmente procuram classificar as pessoas e seus modos de pensar ou associar tipos de pensamento com outras características do sujeito (Krutetskii, 1976). Neste artigo, pretende-se fornecer uma imagem humana da matemática, isto é, mostrar a relação entre o sujeito e o objeto de cognição, que se revela por meio da representação (Otte, 2003). A possibilidade de se falar sobre algo de maneiras diferentes é uma característica fundamental da matemática. Ela é uma ciência em que cada fato pode ser representado de infinitas maneiras. Por exemplo, os números podem ser representados por meio de jogos, de conjuntos, de símbolos, de contagens, de medidas, de marcas no papel, etc.

Conceber a matemática desta forma pode contribuir com o trabalho em sala de aula, pois se um aluno não consegue entender o que está sendo discutido, devem-se repetir as explicações do mesmo jeito? Não! Devem-se buscar outras perspectivas para abordar um mesmo assunto. Por isso, o vídeo-cassete jamais conseguirá substituir o professor, já que nele se têm somente repetições.

Quando se trata de resolução de problemas, só repetir uma definição não é suficiente para resolver um problema. Os problemas matemáticos dependem tanto do modo como são representados quanto do conhecimento específico propriamente dito. Diante disso, tem-se uma conexão bem nítida e forte entre estilos cognitivos e maneiras de representação, e por sua vez, com a característica da matemática – em que todo fato matemático deveria ser expresso em um número maior possível de formas diferentes. Os exemplos apresentados tratam de dois tipos de pensamento referenciados pela história da matemática (Poincaré, 1995) e do contexto educacional (Krutetskii, 1976), que ilustrarão a relação entre estilos cognitivos e meios de representação.

DESENVOLVIMENTO E DISCUSSÃO

1. ESTILOS COGNITIVOS NA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA

Na história da matemática se encontram diferenças na forma de pensar. Poincaré (1995) descreve dois tipos de pensamento ou duas tendências opostas que os matemáticos normalmente demonstram, e que isso é perceptível tanto nas obras dos grandes como dos pequenos matemáticos. São os lógicos (também denominados de analistas) e os intuitivos (geômetras).

Ampliando as idéias de Poincaré (1995), pode-se mencionar que diante de um fato matemático os primeiros buscam respostas para a pergunta: Por que é assim? – se fundamentando nas regras da lógica formal, os outros se orgulham de apresentar uma resposta o mais transparente possível à pergunta: O que é? – tratando o fato de uma maneira que tenta esgotar essa pergunta.

Para Poincaré (1995), não é o assunto que os matemáticos estudam que define a opção por determinado método, mas é a própria natureza de seu espírito, já que se pode permanecer analista mesmo utilizando a geometria, ou conservar-se geômetra mesmo estudando análise pura. Não é a educação que influencia as tendências, porque o "indivíduo nasce matemático, não se torna matemático e parece que nasce geômetra ou nasce analista" (Poincaré, 1995, p. 13). A título de exemplo, o autor compara dois personagens da ciência francesa, o Sr. Bertrand e o Sr. Hermite. Os dois foram alunos da mesma escola, na mesma época, tiveram a mesma educação, as mesmas influências e, no entanto, eram completamente diferentes, tanto nas obras escritas como no ensino e na maneira de falar. O Sr. Bertrand enquanto falava sempre estava em ação, via e procurava representar as figuras que estudava desenhando-as por meio do gesto, procedia de forma intuitiva. Já o Sr. Hermite agia como se seus olhos parecessem fugir ao contato do mundo; não era fora, era dentro que procurava a visão da verdade.

Apesar de diferentes, Poincaré (1995) admite que ambos os tipos de pensamento são igualmente importantes para o progresso da ciência. Para se fazer qualquer ciência somente a lógica pura não é suficiente, tendo em vista que ela nos conduziria sempre a tautologias. Seria difícil criar coisas novas. Diante disso, é necessário recorrer à intuição, porém não aquela respaldada nos sentidos. Existem vários tipos de intuição: a) o apelo aos sentidos e à imaginação; b) a generalização por indução, que vai do particular para o geral, de acordo com os procedimentos das ciências experimentais; c) intuição do número puro, que consiste no raciocínio por recorrência e que pode gerar o verdadeiro raciocínio matemático. Poincaré (1995) assinala que as duas primeiras intuições não fornecem a certeza desejada, somente a terceira por supor que ninguém duvidará da aritmética.

Em outro livro intitulado A ciência e a hipótese, ao discutir a natureza do raciocínio matemático, Poincaré (1984) explica porque atribui tanta importância ao raciocínio por recorrência. Esse raciocínio permite resumir, em uma única fórmula, uma infinidade de silogismos. Para esclarecer, apresentam-se alguns silogismos hipotéticos:

"O teorema é verdadeiro para o número 1.

"Ora, se é verdadeiro para 1, é verdadeiro para 2.

"Logo, é verdadeiro para 2.

"Ora, se é verdadeiro para 2, é verdadeiro para 3.

"Logo, é verdadeiro para 3, e assim por diante." (Poincaré, 1988, p. 26-27)

A conclusão de cada silogismo serve de premissa maior para o próximo. Essa seqüência de silogismos, que não teria fim, pode ser reduzida, isto é, as premissas maiores de todos os silogismos podem ser expressas por uma única fórmula: se o teorema é verdadeiro para n – 1, o é para n. Por mais que se tente verificar a veracidade de um teorema com casos particulares, ele será finito e assim, jamais se chegará ao teorema geral.

Diante disso, Poincaré (1984) afirma que o raciocínio por recorrência é o único instrumento que possibilita uma passagem do finito para o infinito, pois dispensa verificações extensas e monótonas, que se tornariam impraticáveis. Na opinião dele, a matemática não deve se restringir à lógica é necessário deixar a intuição fluir, já que está é a fonte da criatividade humana. Das idéias apresentadas por Poincaré (1995), a tese da tendência do pensamento ser definida pela natureza do espírito do homem merece reflexão.

Otte (1993), quando discute intuição e lógica em matemática no seu livro, contesta esta opinião argumentando que o pensamento matemático também é influenciado pela história cultural e social, pelo desenvolvimento da matemática, pelas experiências com a matemática e pelo conteúdo envolvido. Como o pensamento pode conservar-se o mesmo quando o conteúdo muda? Como imaginar um pensamento sem conteúdo? É difícil supor que não existe uma conexão entre pensamento e conteúdo.

As pessoas diferem entre si e por isso, existem talentos matemáticos diferentes, que caracterizam estilos cognitivos distintos. Estilos indicam a concepção que a pessoa tem da matemática, em como define os conceitos e como a utiliza. O estilo e as obras das pessoas contribuem para o desenvolvimento da ciência e, conseqüentemente, da matemática e neste sentido, são objetivamente importantes. Para justificar esta idéia toma-se como referência Otte (1993) que discute a posição da filosofia marxista. Esta afirma que os grandes homens, que formaram os núcleos históricos para profundas mudanças sociais ou invenções, são, num certo sentido, irrelevantes para as modificações que desencadearam, pois acreditam que alguém deverá tomar a iniciativa, não importando quem. Otte (1993) assegura que, na verdade, importa quem começa uma tendência, e comprova isso utilizando como exemplo os cientistas Wallace e Darwin, escrevendo que

"Se tivesse sido Wallace em vez de Darwin, teríamos hoje uma teoria da evolução bem diferente. Todo o movimento da cibernética poderia ter ocorrido cem anos mais cedo, em virtude da comparação de Wallace entre a máquina a vapor como regulador e o processo da seleção natural". (Otte 1993, 76)

Os argumentos sobre estes cientistas podem explicar o fato de que estilos cognitivos e modos de representação não são somente características psicológicas de pessoas, mas influenciam a evolução histórica da ciência e do conhecimento.

Duas tendências de pensamento que regem os matemáticos foram descritas de maneira geral e que podem indicar estilos cognitivos. E se o foco for resolução de problemas, há tendências diferentes? Podem-se identificar estilos cognitivos? Apresentam-se a seguir, exemplos de dois alunos que desenvolveram processos de resolução de problemas matemáticos distintos, que podem contribuir com respostas para estas indagações.

2. RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E ESTILOS COGNITIVOS

A resolução de problemas propicia a oportunidade de se estudar o pensamento de uma pessoa e a forma de representação. Será que todas as pessoas pensam da mesma maneira diante de um problema matemático? Há preferência por um pensamento característico? Ao realizar uma longa pesquisa na Rússia sobre habilidades matemáticas, Krutetskii (1976) identificou certas tendências na forma de pensar de alguns alunos. Essas tendências podem ser traduzidas como estilos cognitivos, que se referem ao pensamento típico de uma pessoa, se lembrando ou resolvendo problema. A título de exemplo, serão descritas algumas atividades matemáticas de dois sujeitos de pesquisa de Krutetskii. O perfil dos entrevistados foi feito no período de 1958 a 1960.

Sonya L. nasceu em Moscou no ano de 1950. Na época da pesquisa tinha 8 anos. Até então Sonya não tinha quase nenhum conhecimento. Há pouco tinha aprendido a escrever e ainda não sabia calcular por escrito, por isso quase tudo era feito por meio do discurso oral (utilizando a lógica) e os cálculos eram mentais. Mostrava clareza em descrição e uma pobreza de imagens, mesmo quando o problema sugeria este recurso. Vejamos a sua resolução para alguns problemas.

Problema 1: Um pastor diz a outro: me dê 8 ovelhas e nós teremos um número igual. O outro responde: não, você me dá 8 ovelhas e então eu terei o dobro do que você tem agora.

Solução: Se um der 8 ovelhas e eles passam a ter um número igual, isso indica que eles têm uma diferença de 16 ovelhas. Por outro lado, se o outro pastor der 8, então a diferença se torna 32 (desde que um perde 8 ovelhas e o outro ganha 8). Neste caso, dizemos que ele tem 2 vezes mais, ou 32 ovelhas a mais. Isso significa que haverá 32 e 64, e antes da troca havia 40 e 56. O problema foi resolvido em 40 segundos.

Problema 2: Galinhas e coelhos estão correndo num quintal. Juntos eles têm 35 cabeças e 94 pés. Quantas galinhas e quantos coelhos estão no quintal?

Solução: Se há 35 cabeças ao todo, então são 35 galinhas e coelhos no total. Se todas fossem galinhas, seriam 70 pés. Isto significa que há 24 pés extras, porque além de algumas galinhas há coelhos. Cada coelho tem 2 pés a mais que uma galinha, então são 12 coelhos e 23 galinhas.

Problema 3: Qual é o ângulo formado pela intersecção das bissetrizes dos ângulos agudos de um triângulo retângulo isósceles?

Solução: sem fazer nenhum desenho usando as informações do problema ela disse: metade de dois ângulos que, quando adicionados, dão 90⁰ é 45⁰, e de 2d subtraímos 45⁰ = 135⁰ (2d se refere a dois ângulos retos, ou seja, 180⁰). Krutetskii (1976) comenta que para Sonya, aparentemente, lógica e raciocínio substituem o apoio de imagens visuais.

Volodya L., nasceu em Moscou em 1949. No período da pesquisa tinha 10 anos. Nos problemas, utilizava a técnica de cálculo mental rápido sem recorrer muito à argumentação, pois preferia calcular. O seu processo de pensamento, enquanto resolvia problemas matemáticos, era muito reduzido e parece que este era o seu modo usual. Tinha dificuldade em desenvolver uma resolução em sua estrutura completa ou explicá-la. Algumas de suas resoluções são apresentadas a seguir.

Em um problema similar ao problema 1 resolvido por Sonya, Volodya resolve-o por meio de imagens visuais, conforme figura abaixo.

Problema 4: um menino diz à sua irmã: se você me der 8 nozes, então nós teremos um número igual. Mas ela responde: se você me der 8 nozes, eu terei duas vezes mais. Quantas nozes cada um tinha?Problema 5: Galinhas e coelhos (mencionado no problema 2).

Solução: Há tantas galinhas quantos coelhos quase duas vezes. Se todos os animais fossem galinhas, então haveria 70 pés, e se todos fossem coelhos 140 pés. 94 está duas vezes mais perto de 70 do que de 140 (94 – 70 = 24 e 140 – 94 = 46). Tentemos: 20 e 10; 21 e 11; 22 e 12; 23 e 12 ... 23 galinhas e 12 coelhos.

Durante a entrevista lhe perguntaram como explicaria este problema a um amigo mais jovem e então, explanou: Se todos fossem galinhas, seriam 70 pés. Mas de fato há 94 pés. Somando um coelho dá mais 2 pés. Então, são 12 destas adições, quer dizer, 12 coelhos. Ao tentar explicar, ele mudou seu modo de pensar, assemelhando-se à resolução de Sonya. Este fato conduz à idéia de que ao se resolver um problema tem-se uma maneira de pensar, mas explicar o que foi feito a alguém implica numa mudança de raciocínio, é o aspecto social exercendo influência, no sentido de socializar o pensamento. Krutetskii (1976) apresentou este aspecto como sendo uma das dificuldades da pesquisa: pensar ou resolver em voz alta e explicar a resolução em voz alta são processos completamente diferentes. Skemp (1971) também discutiu essa diferença entre fazer algo e explicar como se fez, que na opinião dele, o fato de explicar um processo implica em utilizar a inteligência reflexiva.

Problema 6: Um pai tem 35 anos e o seu filho tem 2. Em quantos anos o pai terá quatro vezes a idade de seu filho? Volodya também o resolveu graficamente, sem qualquer argumentação, conforme figura ao lado.

No problema sobre galinhas e coelhos os dois o resolveram por meio da argumentação e usando o método aritmético. No entanto, Sonya utilizou um pensamento lógico – distribuiu primeiramente os animais com duas pernas, para depois voltar e distribuir o que faltava, pensando nos animais com quatro pernas; e Volodya adotou uma forma experimental, observando a estrutura dos números – estabeleceu o intervalo entre a quantidade total com duas pernas e a total com quatro pernas e concluiu que o valor dado no problema (sobre o número total de pés) correspondia a quase o dobro do número de galinhas comparado com o número de coelhos. Mesmo recorrendo a um mesmo método, eles pensaram e organizaram as informações de maneiras diferentes.

Estes problemas poderiam ser resolvidos pela álgebra se os alunos a conhecessem. Levando em conta a idade, estes alunos provavelmente ainda não conheciam tal resolução, por isso tiveram que encontrar caminhos para obter as respostas, utilizando os conhecimentos de que dispunham. Examinando estes exemplos, é possível verificar que Sonya diferiu de Volodya nas representações adotadas, que estão associadas com o tipo de pensamento que guiou as resoluções dos problemas.

Skemp (1971, p. 88) fornece uma interpretação geral sobre representações. Discute diferentes tipos de imagem e indica dois sistemas simbólicos que são utilizados na matemática: "símbolos visuais" – que são diagramas de todos os tipos, especialmente figuras geométricas, e "símbolos verbais" – que são palavras, no sentido falado e escrito. A existência de uma certa predominância de um deles pode ser um indício de estilo cognitivo.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Com base nesta conceituação de Skemp (1971) e na performance destes alunos, pode-se interpretar que nas resoluções dos problemas os símbolos verbais foram mais evidentes na atuação de Sonya, enquanto que os símbolos visuais foram o meio de representação mais utilizado por Volodya. Sonya não recorria aos símbolos visuais, mesmo nos problemas que exigiam tal recurso e Volodya os inseria naqueles que não eram aparentemente necessários, a geometria era um dos caminhos pelos quais ele desenvolvia seu pensamento.

Essa diferença entre os dois pode ser justificada pela possibilidade de se representar uma mesma situação de diferentes maneiras, pela existência de vários meios de representação e pela diversidade de pensamento. Assim, uma certa predominância na forma de pensar a matemática é caracterizada como estilo cognitivo, que pode ser identificado por meio da representação escolhida.

Retomando os pontos apresentados por Poincaré (1995), pode-se ressaltar que na matemática tanto a lógica como a intuição estão muito vinculadas com a atividade intelectual do sujeito, não são reflexos e nem são direcionadas ao mundo objetivo.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

KRUTETSKII, V.A. The
Psychology of Mathematical Abilities in Schoolchildren. USA, The University of Chicago, 1976.

OTTE, M. O formal, o social e o subjetivo: uma introdução à filosofia e à didática da matemática. Trad. Maria Ap. Bicudo e.o., São Paulo, Editora da Universidade Estadual Paulista, 1993.

OTTE, M. Does Mathematics Have Objects? In What Sense? In.: Synthese 134, Netherlands, Kluwer Academic Publishers, 2003, p. 181-216.

POINCARÉ, H. Sobre a natureza do raciocínio matemático. In.: A ciência e a hipótese. 2ª ed., Brasília, Editora Universidade de Brasília, 1984, p. 21-31.

POINCARÉ, H. A intuição e a lógica na matemática. In.: O valor da ciência. Rio de Janeiro, Contraponto, 1995, p. 13-25.

SKEMP, R.R. The Psychology of Learning Mathematics. Harmondsworth, Penguin Books, 1971.