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Como os professores usam materiais manipulativos para ensinar matemática

Texto adaptado de MOYER, Patricia S. Are we having fun yet? How teachers use manipulatives to teach mathematics. Educational Studies in Mathematics 47: 175-197, 2001.

    Com uma considerável pesquisa apoiando o uso de materiais manipulativos e amplas oportunidades de desenvolvimento profissional de professores focalizando seu uso, os materiais manipulativos são comuns nas salas de aula do Ensino Fundamental. Como pode ser verificado em propostas curriculares, livros-texto sobre metodologia, cursos de formação continuada, periódicos profissionais e catálogos comerciais, o uso de materiais manipulativos está bem situado nas atuais tendências para o ensino da matemática.

Por que os materiais manipulativos se tornaram populares?

    No século passado, diversos fatores contribuíram para a popularidade dos materiais manipulativos no ensino da matemática. Muitos pesquisadores e teóricos desafiaram crenças anteriormente comuns sobre a aprendizagem, com base em suas crenças de que as crianças precisam entender o que estão aprendendo para que a aprendizagem seja permanente. O trabalho de Zoltan Dienes (1969) convenceu os pesquisadores de que o uso de várias representações de um conceito ou "incorporações múltiplas" era necessário para apoiar a compreensão dos estudantes. Piaget (1952) sugeriu que as crianças não têm maturidade mental para apreender conceitos matemáticos abstratos apresentados somente por meio de palavras ou símbolos e precisam de muitas experiências com materiais concretos e desenhos para que a aprendizagem ocorra. Bruner (1960, 1986) concluiu que as crianças podem demonstrar sua compreensão em três estágios de representação: legal (enactive), sugerindo o papel de objetos físicos; icônico e simbólico. As teorias de Skemp (1987) sustentaram a crença de que as experiências e interações dos estudantes com objetos físicos formavam a base para a aprendizagem posterior no nível abstrato. Com base em teorias da cognição e da construção social do conhecimento (Vigotsky, 1978), uma pesquisa mais recente de Cobb (1995) discute ferramentas culturais como tabuleiros de centena (hundreds boards), mostrando a relação complicada entre materiais manipulativos e perspectivas socioculturais. A pesquisa atual em educação matemática vê os estudantes como participantes ativos que constroem conhecimento por meio da reorganização de seus modos presentes de conhecer e da extração de coerência e significado a partir de suas experiências (Glover, Ronning e Bruning, 1990; Resnick, 1983; Simon, 1995; von Glasersfeld, 1990, 1995). O impacto de teorias e pesquisas que conectam as ações dos estudantes sobre objetos físicos à aprendizagem matemática teve uma influência importante na emergência e no uso de materiais manipulativos em salas de aula do Ensino Fundamental.

    Materiais manipulativos são objetos projetados para representar explícita e concretamente idéias matemáticas que são abstratas. Eles têm apelo visual e táctil e podem ser manipulados pelos alunos. Os fabricantes anunciam esses materiais como materiais que tornarão o ensino e a aprendizagem de matemática "divertidos" e promovem seus produtos como catalisadores para engajar os estudantes na aprendizagem matemática. Como o pensamento abstrato dos estudantes está ancorado fortemente em suas percepções concretas do mundo (Thompson, 1992), manipular ativamente tais materiais permite que os alunos desenvolvam um repertório de imagens que podem ser usadas na manipulação mental de conceitos abstratos.

Os materiais manipulativos não são mágicos

    Entretanto, os materiais manipulativos não são mágicos (Ball, 1992). Eles não são, em si mesmos, portadores de significado ou insight. "Embora experiências cinestésicas possam ampliar a percepção e o pensamento, a compreensão não viaja das pontas dos dedos braço acima" (Ball, 1992, p. 47). É através de seu uso como ferramentas que os estudantes têm a oportunidade de ganhar insight em sua experiência com eles. A pesquisa tem mostrado que, para que as crianças usem representações concretas efetivamente sem maiores demandas sobre sua capacidade de processamento, elas precisam conhecer os materiais de forma suficiente para usá-los automaticamente (Boulton-Lewis, 1998). Se o usuário estiver constantemente consciente do artefato, então ele não é uma ferramenta, pois não está servindo ao propósito de possibilitar alguma atividade desejada que leve a um objetivo desejado (Winograd e Flores, 1986). Uma coisa importante a ser considerada é a significação dos materiais manipulativos como ferramentas potenciais e sua significação como uma função da tarefa para a qual um professor concebe que eles sejam usados.

    Os alunos, algumas vezes, aprendem a usar os materiais manipulativos de maneira mecânica, com pouca ou nenhuma aprendizagem dos conceitos matemáticos por trás dos procedimentos (Hiebert e Wearne, 1992) e falta de habilidade em ligar suas ações com esses materiais a símbolos abstratos (Thompson e Thompson, 1990). Isso acontece porque o material é simplesmente a representação, por parte do fabricante, de um conceito matemático que pode ser usado para diferentes propósitos, em vários contextos, com graus variados de "transparência". Meira (1998) define o conceito de transparência de dispositivos instrucionais como "um índice de acesso a conhecimentos e atividades mais do que como uma característica inerente dos objetos... um processo mediado por atividades que se desdobram e participação dos usuários em práticas socioculturais em andamento" (p. 121). A compreensão ou significado de materiais manipulativos particulares se torna conhecida aos usuários no processo de usá-los em ambientes compartilhados. Os materiais manipulativos não são necessariamente transparentes. Devemos examinar como são usados pelos estudantes antes de podermos julgar se a transparência emerge ou não. Se a transparência emerge, isso acontece cada vez que um material é usado para o ensino da matemática no contexto e propósito de cada aula em particular. É a mediação por estudantes e professores em práticas compartilhadas e significativas que determina a utilidade dos materiais manipulativos. Portanto, o aspecto físico de materiais manipulativos concretos não carrega o significado das idéias matemáticas por trás deles. Os estudantes devem refletir sobre suas ações com os materiais manipulativos para construir significados.

Pesquisas sobre materiais manipulativos

    Muitas pesquisas têm mostrado que os alunos que usam materiais manipulativos nas aulas de matemática têm desempenho melhor do que os que não o fazem (Driscoll, 1983; Grabell, 1978; Raphael e Wahlstrom, 1989; Sowell, 1989; Suydam, 1986). Entretanto, alguns estudos mostraram que os níveis de sucesso dos alunos estão relacionados à experiência dos professores no uso dos materiais (Sowell, 1989; Raphael e Wahlstrom, 1989). Outras pesquisas focalizaram os efeitos do uso dos materiais sobre estudantes de diferentes níveis de habilidade (Prigge, 1978; Threadgill-sowder and Juilfs, 1980) , sobre a freqüência das interações verbais (Stigler e Baranes, 1988) e sobre as atitudes dos alunos em relação à matemática (Sowell, 1989). Além disso, diversos estudos (por exemplo, Gilbert e Bush, 1988; Scott, 1983; Weiss, 1994) focalizaram o treinamento prático de professores no uso dos materiais e documentaram a freqüência do uso, bem como crenças selecionadas dos professores. Embora meta-análises e revisões de trabalhos de pesquisa sobre materiais manipulativos tenham documentado como esses materiais são usados em situações matemáticas prescritas (Clements, 1999; Parham, 1983; Sowell, 1989; Suydam, 1985), faltam observações e entrevistas de professores que usam os materiais em salas de aula típicas para seus próprios propósitos.

    Os professores desempenham um papel importante na criação de ambientes matemáticos que forneçam aos alunos representações que ampliem seu pensamento. Entretanto, mesmo que os professores tenham aprendido estratégias apropriadas para usar materiais manipulativos, suas crenças sobre como os alunos aprendem matemática podem influenciar como e por que usam os materiais da forma como o fazem. Os professores devem refletir sobre as representações dos alunos sobre as idéias matemáticas e ajudá-los a desenvolver compreensões cada vez mais abstratas e sofisticadas (Clements, 1999). Esse é um desafio no ensino de matemática, porque muitos professores carecem das competências matemáticas para transformar idéias matemáticas em representações (Ball, 1990; 1992; Orton, 1988). Alguns professores usam materiais manipulativos em um esforço para reformular seu ensino de matemática sem refletir sobre como o uso de representações pode mudar o ensino de matemática (Grant, Peterson e Shojgreen-Downer, 1996).

    Ainda que a pesquisa geralmente apóie o uso dos materiais manipulativos, há evidências (Ball, 1992; Meira, 1998) de que a mera presença desses materiais não garante a aquisição de compreensão conceitual (Baroody, 1989). Muitos desses trabalhos anteriores, entretanto, usaram técnicas de survey e falharam em incluir observações diretas na sala de aula. Este estudo representa uma importante extensão da pesquisa que existia antes, isto é, ele usa dados de observações, entrevistas e auto-relatos para explicar como e por que os professores usam os materiais da forma como o fazem.

Métodos

Participantes

    Participaram deste estudo 10 professoras de matemática que voluntariamente se matricularam num curso sobre o uso de materiais manipulativos, instrumentos de medida, calculadoras e computadores no ensino de matemática. Eram três afro-americanas e sete euro-americanas de escolas públicas de quatro sistemas escolares do mesmo estado dos Estados Unidos. Essas professoras souberam que seriam observadas, entrevistadas e solicitadas a fornecer dados de seus próprios relatos sobre o seu uso de materiais manipulativos no ensino de matemática.

Materiais

    As professoras participantes do estudo fizeram um curso de duas semanas e receberam um kit que incluía materiais manipulativos tais como blocos de base 10, ladrilhos coloridos, sólidos geométricos, geoplanos, dados, barras de frações e tangrams. Receberam também instrumentos de medida como termômetros, fitas métricas e trenas. Além disso, todas elas tinham calculadoras e materiais de matemática feitos por professores em suas salas de aula, bem como acesso a computadores em suas escolas.

Análise

    Os seguintes dados foram usados como fontes para as análises: entrevistas das professoras, gravações em áudio de alunos e professoras durante as observações de sala de aula e cartões postais escritos pelas professoras relatando suas aulas. Os pseudônimos das professoras são: Ann, Betty, Catherine, Denise, Edith, Frances, Gena, Helen, Inez e Joan.

Resultados

Que materiais manipulativos estão sendo usados?

    O número de vezes em que um material manipulativo foi usado variou de zero (Inez) a todas as aulas (Betty), tendo a maioria das professoras ficado em algum lugar entre esses dois extremos. Os materiais mais usados foram cubos de encaixar (snap cubes, 6 aulas) e ladrilhos coloridos (color tiles, 5 aulas); os outros materiais, tais como blocos geométricos (pattern blocks), dados, geoplanos, tangrams, tabuleiros numerados de 1 a 100 (hundreds boards), foram usados em uma, duas ou três aulas.

Como os materiais manipulativos estão sendo usados?

    Nas aulas em que um material matemático foi usado que foram relatadas pelas professoras, elas disseram tê-lo usado para trabalhar os seguintes conceitos: valor posicional, mínimo múltiplo comum, números primos, frações equivalentes, soma e subtração de frações, decimais, porcentagem, medição de comprimentos, área, perímetro, geometria sólida, congruência, simetrias, circunferência, medição de ângulos, estatística, probabilidade, esboço de gráficos, padrões, resolução de problemas e inteiros positivos e elas disseram tê-lo usado para trabalhar os seguintes conceitos: valor posicional, mínimo múltiplo comum, números primos, frações equivalentes, soma e subtração de frações, decimais, porcentagem, medição de comprimentos, área, perímetro, geometria sólida, congruência, simetrias, circunferência, medição de ângulos, estatística, probabilidade, esboço de gráficos, padrões, resolução de problemas e inteiros positivos e negativos.

    Os materiais manipulativos foram usados para vários conceitos matemáticos e propósitos, sendo o mais comum a exploração de conceitos de geometria (7 em 20 aulas observadas) e para jogar um jogo (6 em 20 aulas observadas).

    Na maior parte dos casos, as aulas eram dirigidas pelas professoras: os alunos ou usavam os materiais seguindo suas instruções ou os materiais eram uma atividade de enriquecimento quando havia tempo no final da aula. Em duas aulas, as professoras usaram os materiais apenas como demonstração; por exemplo, Edith usou um círculo e alguns ladrilhos quadrados para propor uma pergunta aos alunos sobre como usar os ladrilhos para medir a área de um círculo, mas eles mesmos não usaram os materiais durante a aula.

    As professoras expressaram diferentes crenças sobre os propósitos de se usar materiais manipulativos. Edith, Inez e Denise disseram que os usavam para resolver problemas e para enriquecimento. Por exemplo, Denise, em uma entrevista, disse que usava os materiais "apenas para variar o ritmo da aula de matemática... em vez de aula expositiva todo dia, o material dá um tipo de quebra na rotina". Ann descreveu os materiais como uma recompensa e um privilégio. Frances, Catherine e Helen falaram de vários objetivos para os materiais em suas entrevistas, como: fornecer um modelo visual na introdução de conceitos; para uso dos alunos na resolução de problemas; para reforçar e oferecer enriquecimento de conceitos. Gena viu o uso dos materiais como "uma outra ferramenta para ajudar os alunos a resolver problemas, como qualquer outra estratégia", enquanto Betty falou deles como "uma maneira concreta de mostrar a eles [os alunos] e depois eles podem prosseguir sem precisar dos materiais para ver o padrão". O propósito de Joan no uso de materiais manipulativos em matemática era "torná-la mais divertida".

Noções não examinadas sobre o uso dos materiais manipulativos

    A pesquisa identificou duas grandes categorias de análise do uso dos materiais manipulativos: "matemática divertida" e "verdadeira matemática". Através de seus comentários, as professoras definiram "matemática divertida" como "jogos", "enriquecimento", "atividade extra" e "recompensa por bom comportamento". Quando comentaram sobre "procedimentos e algoritmos", "fatos básicos", "preparar para provas", "livros didáticos" e "trabalhar com lápis e papel", elas diziam estar falando da "verdadeira matemática".

    Em muitos casos, as professoras disseram que o uso dos materiais manipulativos era "divertido". Inicialmente, esse termo parecia indicar que professoras e alunos tinham prazer em usar os materiais ao ensinar e aprender matemática. Uma análise posterior dos dados sugeriu que, embutidas no uso da palavra "divertido" pelas professoras, havia algumas noções não examinadas que inibem o uso dos materiais manipulativos no ensino de matemática. As professoras faziam distinções sutis entre "verdadeira matemática" e "matemática divertida", usando o termo "verdadeira matemática" para se referir às partes da aula em que ensinavam regras, procedimentos e algoritmos usando o livro didático, cadernos, folhas e tarefas com lápis e papel. O termo "matemática divertida" era usado quando as professoras descreviam partes da aula em que os alunos estavam se divertindo com os materiais. A análise revela várias dessas noções sobre o uso dos materiais e sobre como essas distinções podem se refletir nas práticas de sala de aula.

Prazer na aprendizagem

    Muitas das professoras explicaram que ensinar matemática com os materiais manipulativos tornava a aprendizagem mais divertida no sentido de que havia prazer intrínseco para os alunos. Como Catherine e Joan relataram: "meus objetivos pessoais para ensinar matemática são torná-la divertida" (Catherine) e "é mais interessante fazer atividades divertidas... eu sempre adorei planejar atividades divertidas" (Joan). Elas descreveram as respostas dos alunos quando os materiais eram usados – "os alunos adoram. Eles acham que é uma coisa divertida" (Inez) – e explicaram que o divertimento gerado pelo uso dos materiais estava promovendo a aprendizagem. "Eu acho que eles realmente estão aprendendo pela diversão" (Helen).

    Durante as aulas em que os materiais eram usados, os alunos pareciam interessados, ativos e envolvidos. Uma das professoras observou: "a qualquer hora em que fazermos trabalho em grupo ou qualquer coisa que tem a ver com os materiais, eles acham que é hora de diversão" (Catherine). Quando os alunos entravam na sala de aula, ocasionalmente perguntavam às professoras se iriam usar o livro de matemática naquele dia; durante uma observação, a professora respondeu: "não, hoje nós vamos nos divertir" (Joan).

    Os alunos também faziam comentários durante as aulas sobre algumas delas serem "divertidas" ou como "jogar um jogo". Uma professora mencionou que os alunos "todo dia me perguntam se hoje vamos jogar um jogo ou brincar com os blocos) (Denise). As professoras freqüentemente descreviam jogos que reforçavam os conceitos matemáticos que estavam ensinando ("Jogamos um jogo usando 3 ladrilhos para rever os fatos da multiplicação e divisão") (Helen) e os alunos viam a matemática como divertida no sentido de ser baseada em atividades.

Experiências recompensadoras

    Em virtude de o uso de materiais manipulativos ser tão freqüentemente considerado prazeroso por professoras e alunos, muitas das professoras usavam os materiais como um prêmio para um comportamento apropriado. "É um prêmio para eles, porque já houve vezes em que eu tomei os materiais", disse Ann. Ela explicou que o comportamento determinava se os alunos usariam os materiais ou o livro didático. "Se eles não estiverem trabalhando ou não seguirem as minhas instruções... eu tenho de deixá-los trabalhar em outra coisa referente ao mesmo conceito, mas sem poder usar os materiais. Eles podem fazer alguma tarefa do livro", falou Ann. Inez compartilhava essa crença: "a primeira vez que uma criança se comporta mal, o material é tirado delas e elas são separadas da classe. Não as deixo continuar a atividade usando o material naquele dia". Enquanto usava os blocos geométricos, Catherine comunicou aos alunos que usar os materiais era um privilégio, observando: "estou esperando vocês ficarem quietos para que a gente não tenha que voltar para os livros."

    Para muitas professoras, as decisões sobre usar materiais manipulativos com certos grupos de alunos não se baseavam na adequação de uma representação para um conceito matemático particular, mas sim na maneira como os alunos tinham se comportado durante aulas anteriores em que esses materiais tinham sido usados. Em caso de comportamento apropriado, os alunos podiam "se divertir" com os materiais. Catherine assinalou que o comportamento tinha um papel crucial em suas decisões sobre usar os materiais: "O ano passado eu não usei muito por causa da turma que tinha. Eu tentei muito usar os materiais durante as nove primeiras semanas, mas como os alunos simplesmente não conseguiam trabalhar juntos, cortamos parte do uso." Os comentários das professoras mostraram preocupação com a manutenção do controle enquanto os materiais eram usados.

Distinções que emergem

"Matemática divertida" versus "matemática verdadeira"

    À medida que as observações de sala de aula e entrevistas com as professoras continuavam, parecia que elas descreviam o uso que faziam dos materiais manipulativos como uma diversão, diferente do ensino regular de matemática que faziam. Embora essas distinções emergissem sutilmente, uma indicação muito clara delas ocorreu no decorrer do ano. Descrevendo uma aula com materiais manipulativos, Joan disse: "às vezes eu acho que eles estão só se divertindo, mas não me importo, porque no final das contas chegaremos à parte da verdadeira matemática" (itálicos nossos). Mais adiante, na mesma entrevista, Joan afirmou: "quando estamos usando os materiais, eles se divertem mais, de modo que não pensam que é matemática". Esses comentários surpreenderam a observadora, na época da pesquisa, e pareciam capturar o fenômeno emergente de as professoras usarem o termo "diversão" sempre que descreviam as aulas nas quais os materiais eram usados, distinguindo-as da aula da "verdadeira matemática". Não somente as professoras pareciam distinguir entre aulas de "matemática divertida", em que os materiais eram usados, e aulas de "verdadeira matemática", em que eram usados métodos tradicionais de lápis e papel, mas também faziam distinções entre partes de aulas individuais. Por exemplo, os materiais podiam ser usados para exploração, no início ou na parte de "matemática divertida" de uma aula, ou podiam ser usados em uma atividade ou um jogo depois que o conteúdo matemático era ensinado. No entanto, durante o ensino de habilidades específicas ou conteúdo, os métodos com lápis e papel eram usados para ensinar e praticar a "verdadeira matemática".

    Outras professoras também comunicaram essas distinções artificiais. Denise relatou que era capaz de ensinar a "verdadeira matemática" todos os dias, mas não podia fazer o mesmo com a "matemática divertida": "não posso usar materiais manipulativos todo dia... as crianças às vezes precisam desse tipo de estrutura em que fico na frente da turma e eles ficam sentados trabalhando". Denise parece fazer diversas afirmativas poderosas sobre os materiais: eles não são essenciais para a aula de verdadeira matemática; significam brincar e não trabalhar; não se prestam a ser uma parte da estrutura de uma aula de matemática. Inez fez a distinção usando atividades com os materiais para dar aos alunos e a si mesma uma quebra na rotina . "Procuro atividades de enriquecimento e atividades com materiais que combinem com os conceitos... é uma boa quebra para as crianças e para mim. Ontem nós usamos o tabuleiro de centena (hundreds boards)... foi um bom descanso das atividades diárias que fazemos na sala de aula".

Os materiais manipulativos são mesmo importantes?

    Essas professoras viam o uso que faziam dos materiais para ensinar matemática como brincar, explorar ou mudar o ritmo. Com essa visão, os materiais manipulativos podiam funcionar como parte do sistema de recompensas para administrar a sala de aula. Ao aliar materiais manipulativos e "matemática divertida", as professoras estavam, essencialmente, fazendo uma distinção entre o uso dos materiais e seu ensino regular de matemática. O uso dos materiais era freqüentemente deixado para o final da aula, o fim da semana, às sextas-feiras, ou o fim do ano escolar, quando os objetivos propostos pelo sistema administrativo escolar haviam sido cumpridos. Em suas aulas, Denise ensinava primeiro a "verdadeira matemática" e depois arranjava tempo para usar os materiais. "Na maior parte do tempo, eu ensino o conceito e depois brincamos um pouco ou fazemos uma atividade... quando eles terminam suas atividades, se um grupo estiver na frente dos outros, deixo-os sentar, brincar, construir torres ou o que quiserem". Sua descrição mostra a diferença que ela faz durante as aulas: "ensinar o conceito" é a parte da "verdadeira matemática", e "brincar e construir torres" é a parte da matemática divertida.

    Outras professoras ensinavam a "verdadeira matemática" durante a primeira parte da semana, e depois arranjavam tempo para a "matemática divertida" nas sextas-feiras. "Tentamos sempre usar os materiais manipulativos nas sextas-feiras, porque nas quintas fazemos nossas provas de matemática. Joan explicou que "sexta-feira é dia de tempo livre... é quando eles podem explorar o que puderem fazer com os blocos. Eu dou o tempo para eles usarem... quando temos tempo livre nas sextas, ou os últimos 15 minutos da aula, se eles tiverem terminado suas tarefas. É o incentivo para trabalharem." Uma professora estava preocupada em cobrir o conteúdo que os alunos precisavam para as provas. "Se eu não tivesse a pressão dessas provas, poderia aproveitar mais o uso dos materiais...felizmente, na segunda metade do ano, as coisas vão ser menos apressadas e poderemos fazer mais coisas divertidas" (Edith). Os materiais pareciam ser usados apenas se havia tempo extra.

    Ao selecionar dias e horários específicos para usar os materiais, as professoras enviavam uma mensagem clara a seus alunos sobre a importância desses materiais no ensino de matemática. Durante as observações, diversos comentários indicavam a insatisfação das professoras com o uso dos materiais. Durante uma observação em que os ladrilhos coloridos estavam sendo usados, Denise comentou: "vocês podem dar a resposta usando os blocos, mas precisam achar um denominador comum". Em outra aula, uma aluna perguntou se podia usar as barras de frações para ajudá-la a completar uma tarefa, e Inez respondeu: "se você acha que ajuda, vá em frente. É mais fácil fazer matematicamente. Resolva primeiro sem elas." A um outro aluno a professora disse: "se seu pai tiver que medir uma chapa, ele não vai carregar essas coisas [barras de frações]. É muito mais fácil saber somar os números de cima [de frações] (Inez). Durante uma entrevista, Ann explicou que, embora seus alunos "preferissem colocar as mãos nos materiais, em vez de trabalhar com lápis e papel", ela tinha que usar métodos de lápis e papel porque "sinto que eles têm que chegar ao conceito". Observações na sala de aula de Inez e seus comentários refletem claramente suas crenças: "O meu objetivo para o ensino de matemática é que todas as crianças com quem eu trabalho dominem os fatos básicos... uma das habilidades de que eles precisam primeiro é a memorização de rotina. Existem só algumas coisas em matemática que não dá para ensinar de outro jeito" (Inez). Inez continuou a explicar: "eu realmente não gosto de usar tanto os materiais manipulativos, mas sei que preciso fazer isso". Essas declarações implicam que, para compreender conceitos matemáticos, os alunos têm que usar algoritmos do livro didático, conseqüentemente ignorando a possibilidade de que, através de experiências significativas com representações, como os materiais manipulativos, os alunos possam inventar seus próprios algoritmos. Mesmo que o curso realizado pelas professoras oferecesse muitas experiências no uso de representações para a construção do conceito matemático, muitas professoras não internalizaram essa idéia.

Discussão

Seguindo o roteiro

    O ensino de matemática nessas salas de aula seguia o típico roteiro ou padrão de aula dos Estados Unidos: (1) revisão de conteúdo anterior; (2) demonstrar como resolver problemas para aquele dia; (3) treinar problemas; (4) corrigir os trabalhos feitos em sala ou em casa (Stigler e Hiebert, 1999, p. 81). O dever de casa era recolhido ou corrigido nos primeiros 5 a 30 minutos da aula; algumas vezes, os alunos escreviam no quadro esses problemas e soluções. As professoras pediam aos alunos que abrissem o livro didático em certa página ou distribuíam uma folha, e a lição era introduzida. As professoras mostravam procedimentos para resolver problemas com pouca ou nenhuma oportunidade para discussão dos alunos. Os problemas que faziam parte da introdução eram todos do mesmo padrão geral. Os alunos tinham tempo da aula para resolver problemas selecionados dos livros ou de folhas e depois recebiam uma tarefa em que problemas semelhantes deveriam ser resolvidos individualmente. Esses roteiros refletem a atividade cultural do ensino de matemática americano, em que os alunos passam a maior parte do tempo adquirindo habilidades isoladas por meio de práticas de repetição (Sigler e Hiebert, 1999). Esses roteiros culturais são aprendidos implicitamente, através da observação e da participação.

    Alcançar os objetivos do currículo estadual era um objetivo importante para as professoras envolvidas nesse estudo, e elas não viam de maneira clara como os materiais manipulativos podiam ser usados para ensinar esses objetivos de forma tão eficiente como elas tinham ensinado os objetivos com lápis e papel. Nos Estados Unidos, muitos professores são influenciados, pelas pressões da avaliação, a preparar alunos competentes em procedimentos para testes padronizados sobre procedimentos aplicados em larga escala. Não há muito espaço para materiais manipulativos nesses roteiros dirigidos por procedimentos; assim, as professoras introduzem o uso desses materiais em rotinas já existentes para o ensino de matemática. A pressão que as professoras sentem para dar o conteúdo durante as aulas pode encorajar o uso dos materiais para atividades divertidas de matemática tais como jogos e enriquecimento, mais do que para apoiar contextos de sala de aula nos quais os alunos produzam significado a partir de suas experiências com esses materiais.

    A preferência por seguir o roteiro típico de ensino de matemática nos Estados Unidos pode ser também uma ilustração da observação de Elbow (1986) de que "grande parte do comportamento dos professores tem origem em um medo injustificado das coisas se dispersarem" (p. 71-72). Usar os materiais manipulativos é desviar-se do roteiro de ensino dos Estados Unidos, talvez tanto que estimule a discussão dos alunos e a interação com pares e materiais, dando origem a um ambiente desorganizado em oposição a um ambiente no qual os alunos trabalham com lápis e papel em uma rotina ordenada. Embora as professoras expressassem verbalmente a idéia de que os materiais podiam ser usados para ensinar conceitos matemáticos, suas aulas refletiam as rotinas de ensino tradicionais, com os materiais sendo usados principalmente como um suplemento do roteiro da aula.

    O curso sobre os materiais que as professoras fizeram foi útil no sentido de que elas usaram mais os materiais do que os professores em geral o teriam feito. Contudo, a experiência não foi além de aumentar a freqüência de uso dos materiais. As professoras não tiveram sucesso no uso dos materiais para ocupar os alunos em compreender matemática; o uso dos materiais focalizou mais o reforço de conteúdo ou atividades já aprendidos que eram "divertidos". Esses dados dão significado concreto às idéias de Smith (1996) de que os professores não aderem a um enfoque mais construtivista porque podem ter a sensação de uma perda da eficácia se fizerem isso. Talvez os professores resistam a uma epistemologia construtiva e interpretem equivocadamente o papel dos materiais em matemática, ou talvez eles não vejam o potencial dos materiais para criar experiências nas quais os alunos construam suas próprias representações se os materiais forem usados adequadamente.

As concepções dos professores sobre matemática e os materiais manipulativos

    Um construto central deste estudo é a relação entre as concepções dos professores sobre matemática, sobre os materiais manipulativos e sobre os propósitos de usar esses materiais (Khoury e Zazkis, 1994; Thompson, 1985; Tirosh, 2000). As crenças de uma professor ou professora estão misturadas com suas ações. Não existe somente alguma correlação: as crenças orientam as ações e as ações condicionam as crenças. Alterar o roteiro da aula requer reflexão sobre o próprio ensino de matemática como um prática cultural (Sigler e Hiebert, 1999) e vontade de adotar práticas que estimulem mais uma compreensão conceitual em lugar de uma compreensão simplesmente mecânica da matemática. No entanto, este é um objetivo desafiador, porque, como Stigler e Hiebert (1999) observam, "em comparação com outros países, os Estados Unidos claramente carecem de um sistema para desenvolver o conhecimento profissional dos professores e lhes dar uma oportunidade de aprender sobre o ensino" (p. 12-13).

    As professoras, no estudo aqui apresentado, comunicam muitos pressupostos subjacentes sobre como e porque usam materiais manipulativos na sala de aula. Como mostra este trabalho, devemos reconhecer esses pressupostos e examinar como e porque o uso dos materiais pode inibir os professores no sentido de usar efetivamente essas representações concretas. A compra desses materiais pelos professores e sistemas escolares e oficinas de desenvolvimento profissional sobre o seu uso são de pouco valor se não levarmos em conta as crenças dos professores sobre o uso dos materiais e seus efeitos em situações de sala de aula.

    Alguns professores acham que o propósito principal do uso dos materiais é a "matemática divertida". Ao usar os materiais para isso, os professores estabelecem artificialmente uma situação de sala de aula na qual os materiais podem não ser utilizados efetivamente. Se "os professores agirem como se o interesse do aluno só possa ser despertado por diversões fora da matemática" (Stigler e Hiebert, 1999, p. 89), estão passando aos alunos a mensagem de que explorações e conjecturas com representações não estão ligadas à verdadeira aprendizagem de matemática. Comentários aos estudantes que banalizem o uso dos materiais de maneira implícita ou explícita desvalorizam o potencial desses materiais como representações para a aprendizagem de conceitos matemáticos. Focalizar o seu uso na diversão limita as possibilidades de que os alunos façam explorações de conteúdo matemático significativo de forma compromissada e interessante.

    As concepções dos professores sobre matemática são fundamentadas na compreensão que eles têm do conteúdo de matemática. As pesquisas enfatizam o impacto importante e significativo das compreensões de matemática que os professores têm sobre o pensamento matemático que tem lugar na sala de aula (Ma, 1999). O estudo internacional de Ma (1999) mostrou que, embora os professores americanos da escola elementar demonstrassem conhecimento procedimental correto de problemas sobre a subtração e multiplicação de números inteiros, tinham menos habilidades que os professores chineses em tópicos mais avançados. Por exemplo, apenas um dos 23 professores americanos deu uma representação conceitualmente correta, mas pedagogicamente problemática para um problema que envolvia a divisão por frações (). Essa pesquisa ilumina a importância de os professores terem amplitude e profundidade em sua compreensão da matemática. "Professores com essa compreensão vasta e profunda não inventam conexões entre idéias matemáticas, mas as revelam e representam em termos do ensino e aprendizagem de matemática" (Ma, 1999, P. 122). Não ficou claro que as professoras do estudo aqui apresentado fossem capazes de fazer conexões ou representar idéias matemáticas de maneira significativa enquanto usavam os materiais.

Usando representações efetivamente

    O uso de materiais manipulativos no ensino de matemática é mais complicado do que poderia parecer. Relações matemáticas devem ser impostas sobre os materiais. A própria representação interna das idéias pelo aluno deve, de algum modo, ligar-se à representação externa ou manipulativa. Entretanto, os materiais manipulativos são gerados externamente como representações de idéias matemáticas dos fabricantes; portanto, o significado associado aos materiais pelos fabricantes não é necessariamente transparente para os professores e alunos (Meira, 1998). Por exemplo, ladrilhos de frações são a tentativa da pessoa que os projetou de representar sua idéia de frações usando objetos concretos. É uma suposição falsa acreditar que relações matemáticas são abstraídas de objetos empíricos.

    Goldin e Shteingold (2001) definem uma representação como um "signo ou uma configuração de signos, caracteres ou objetos" que podem "ficar no lugar (simbolizar, significar, codificar ou representar) de alguma coisa" (p. 3). Embora indivíduos possam compartilhar as ferramentas usadas para a representação – símbolos (tais como figuras ou entalhes) e signos (como palavras faladas ou numerais escritos) (Kamii, Kirkland e Lewis, 2001; Piaget, 1951), para Piaget (1951), a representação é o que cada indivíduo faz. Em outras palavras, o conhecimento de um indivíduo se baseia na elaboração de relações e vem das ações mentais do próprio aprendiz. O raciocínio matemático é estimulado quando os professores focalizam mais a abstração construtiva das crianças (pensamento das crianças) do que a representação (Kami, Kirkland e Lewis, 2001). Por exemplo, para uma criança pequena, o numeral "8" pode não representar nada, enquanto para um adulto representa muitas coisas. Assim, os indivíduos podem representar as mesmas idéias ou idéias diferentes sobre o numeral 8. Esse processo não é observável empiricamente: ele vem do próprio pensamento e compreensão do indivíduo e de sua compreensão das conexões formadas através de ações mentais (Kamii e Warrington, 1999; Piaget, Inhelder e Szeminska, 1948/1960). Embora o uso de representações possa apoiar o processo de construção do conhecimento, grande parte da representação deve vir do aluno.

    Estudos que investigam o conhecimento dos professores sobre representações têm demonstrado que muitos professores não têm o conhecimento sobre como idéias matemáticas são transformadas em representações (Ball, 1990; Orton, 1988). Para complicar ainda mais a questão de usar materiais manipulativos para representar relações abstratas, as interpretações de uma representação pelos alunos podem também ser diferentes daquela introduzidas pelo professor (Ball, 1992). Em um relato (Baroody, 1989), um professor estava usando barras de Cuisenaire para representar um conceito e os alunos construíram um modelo para as barras coloridas que fazia sentido para eles, mas era diferente do conceito que o professor queria que aprendessem. Os alunos tinham construído seus próprios significados matemáticos a partir da atividade, mas não tinham aprendido o conceito-alvo da aula. Em outro estudo, quando os alunos tiveram livre acesso aos materiais, espontaneamente e seletivamente usaram-nos para mediar sua própria aprendizagem (Moyer, 1998). Contudo, alguns dos professores no estudo tinham dificuldades em acompanhar o pensamento dos alunos e seus usos das representações. O uso de materiais manipulativos para jogos às sextas-feiras não oferece oportunidades matemáticas que sustentem a abstração construtiva dos alunos.

    Além disso, os professores deveriam se conscientizar de que alguns materiais podem ser inúteis. Embora a aparência colorida desses materiais os torne esteticamente agradáveis, alguns deles têm pouca relação com conceitos matemáticos. É fácil entender porque os professores têm dificuldades em conectar os materiais à matemática quando usam materiais cujo projeto não é baseado em idéias matemáticas corretas.

Comentários finais

    Como e porque os materiais manipulativos são usados pelos professores é uma questão complexa. Em estudos anteriores em que os materiais foram usados, vimos o simples uso como um sinal positivo. Mas simplesmente usar os materiais não é suficiente se não considerarmos como os professores os estão usando em sala de aula. "Se o ensino é um sistema, então cada característica, por si mesma, não diz muito sobre o tipo de ensino que está acontecendo. O importante é como as características se combinam para formar um todo" (Stigler e Hiebert, 1999, p. 75). Características individuais de uma aula, como o uso de materiais manipulativos, só podem ser avaliadas como efetivas em termos de como elas se ligam e relacionam a outras características e se combinam na aula globalmente. O uso dos materiais manipulativos pelas professoras neste estudo está entrelaçado a questões sobre o conhecimento do conteúdo matemático, sobre a consciência das professoras quanto à estrutura conceitual da matemática e sobre a habilidade para ensinar esse conteúdo aos alunos lançando mão de uma ampla variedade de áreas conceituais para ajudar os alunos a entenderem novas idéias. Isso inclui a habilidade de usar uma grande variedade de representações e também de incentivar o uso das representações pelos alunos.

    O desenvolvimento da representação interna de idéias pelo aluno, testadas sobre as representações externas dos materiais, está no coração do que significa aprender matemática. Conectar as ações mentais do aluno às ferramentas compartilhadas usadas para representação é o desafio para os professores de matemática. Embora o uso da representação apóie a construção do conhecimento, a representação de idéias vem de quem está aprendendo. Os materiais manipulativos podem servir como ferramentas para que os professores traduzam abstrações para uma forma que capacite os alunos a relacionar o conhecimento novo ao anterior. Isso requer que os professores conduzam os alunos a transitar entre representações na forma de objetos, ações e conceitos abstratos matemáticos de modo que os alunos possam ver a relação entre o seu conhecimento e o novo conhecimento. Ainda que se possa supor que isso é algo fácil para os professores fazerem, na verdade não o é. É um desafio para os professores: (1) interpretar as representações dos alunos sobre seu pensamento matemático; (2) revelar e representar conexões entre idéias matemáticas; (3) desenvolver contextos concretos apropriados para a aprendizagem de matemática.

    Este estudo ilumina crenças subjacentes que os professores usam como filtros para interpretar informações sobre o uso de materiais manipulativos e fazer juízos de valor sobre a utilidade desses materiais para ensinar matemática. Por exemplo, as pesquisas mostram claramente que certos tipos de uso do material ajudam a aprendizagem (ou, pelo menos, a alcançar realizações que podem ser medidas); porém, os professores freqüentemente ignoram tais pesquisas. Talvez não sejamos claros a respeito dos resultados, ou talvez não nos fundamentemos sistematicamente sobre eles para oferecer alternativas de prática que sejam úteis e se tornem parte de nosso programa de formação de professores. Este estudo também oferece um feedback importante sobre a efetividade dos esforços de desenvolvimento profissional quanto ao uso de materiais manipulativos para o ensino de matemática. Para as professoras envolvidas, os materiais serviram a um propósito limitado, mas útil. Talvez, ao planejar atividades para o desenvolvimento profissional, não levemos em conta as contingências sob as quais os professores trabalham e as crianças aprendem; talvez seja um desafio demasiado grande inserir materiais manipulativos no "roteiro" norte-americano. O planejamento de desenvolvimento profissional que dê aos professores compreensões mais profundas de conceitos tais como representação e seu papel no ensino e aprendizagem de matemática pode modelar não apenas como os materiais são usados, mas também as crenças que motivam os professores a usá-los.